【極限】我想問 "ε-δ證明"


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我現在開始在碰極限的嚴謹證明 ...

但是我看不懂 = ='

設函數 f(x) 點 xo 的去心鄰域上有定義,

若對於任意正數 ε ,

總存在一正數 δ ,

這時對於所有滿足 0 < | x - xo | < δ 得 x 來說,

不等式 | f(x) - L | < ε 恆成立,

則我們稱L為函數 f(x) 在當點 x 趨近 xo 時的極限,

並記為 lim ( x→xo ):f(x) = L

課本寫的,但我真的不知道這到底是在做什麼的

老師說多做題目去感受那個感覺

可是我看了老師的做法之後其實還是不清楚那再做什麼

  1. 假設給了題目
    用 " ε-δ證明 " 來證

    1. lim (x→c):b = b
    2. lim (x→c):x = c
    3. lim (x→c):x² = c²
    4. lim (x→c):1/x = 1/c,c>0

      先做一次給我看 :'(
      .
  2. 題目是會給 ε 還是 δ ???
    或是兩個都不會給要自己假設 ???
    .
  3. 用以上的例題 ©為例 ,老師是假設 | x - c | < 1
    而且老師說可以隨意的將紅色數字改成其他數例如:1/2、1/3 ...
    但是這樣子作起來答案不就不唯一了 ???
    在同一題證明體裡面有不只一個答案這不少見
    但是我想到這不是嚴謹的做法嗎???
    那為什麼可以假設數字、假設之後不就不嚴謹了嗎 ??
    .
  4. 這種證明到底是想幹麻 ???


    我問過輔導老師
    他說這個的意義是當 x 跟 xo 的距離小於 δ ,
    f(x) 跟 L 的距離 ( 也就是函數值跟極限值的誤差 ) 會小於 ε
    聽不懂、我還是搞不懂他到底想幹嘛 = =""
    就是他有什麼意義在 !!!
    -----一-----點-----也-----不-----可-----愛-----的-----分-----隔-----線-----
    文章結束處附上例題 © 老師的解法
    令 y = f(x) = x²
    考慮 | f(x) - c² | = | x² - c² | = | x - c |‧| x + c |
    | x - c | < 1
    則 | x | - | c | ≦ | x - c | < 1
    移項得 | x | ≦ | c | + 1
    且 | x + c | ≦ | x | + | c | ≦ ( | c | + 1 ) + | c | = 2‧| c | + 1
    所以 | f(x) - c² | = | x + c |‧| x - c | ≦ ( 2‧| c | + 1 ) ‧| x - c | < ε
    故 | x - c | < ε / ( 2‧| c | + 1 )
    取 δ := min { 1 , ε / ( 2‧| c | + 1 ) }
    所有 ε > 0 ,存在於 δ > 0
    使得 0 < | x - c | < δ
    → | x² - c² | < δ 故得證 #
    給我小小要求一下
    可以的話如果要打一些特殊符號麻煩複製我的去打
    排版好看一點,謝謝你們囉 :)
    想知道怎麼打的我也可以敎你 ...
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這個嘛,ε-δ極限定義,最難了解的是這句話的邏輯結構。

我來試著用我的理解方法說說看,先來解釋定義的問題。

首先,f(x) 點 xo 的去心鄰域上有定義

實數線上的去心鄰域應該是指像{x|xo-a<x<xo+a, x不等於x0, a>0} 這樣的一個集合。

要理解這個定義的意思,先直觀的想極限是什麼意思,比方說lim ( x→1 ):(x+2)(x-1)/(x-1) = 3是什麼意思?

注意這個函數在x=1沒有定義,但那不是極限關心的。極限的意思是,當x越來越靠近1的時候,f(x)=(x+2)(x-1)/(x-1)的值會越來越靠近3,但是這跟f(1)=3是兩回事。

比方說x=1.5, 1.1, 0.98, 1.001時 f(x)=3.5, 3.1, 2.98, 2.999 (想像一下趨勢)

回頭過來看

lim ( x→xo ):f(x) = L,意思是當x越來越靠近xo時,f(x)會越來越靠近L。

不過,數學家是嚴謹到有點吹毛求疵的人,他們不喜歡「越來越靠近」這種說法。這種說法意義很含糊,到底有多靠近?

所以出現了嚴格的定義,說的更明確一點lim ( x→xo ):f(x) = L就是,不論你要求f(x)要多麼接近L,只要x夠接近xo,就一定能辦到。

現在用數學的方法翻譯一下這句話

要求f(x)要多麼接近L,比方說距離不可以超過我給的一個數字ε

只要x夠接近xo: |x-xo|<δ

能辦到: 只要|x-xo|<δ,一定可以推出f(x)和L距離不超過ε,也就是|f(x)-L|<ε。

這就是樓主貼的極限的定義啦。

----------------------------------------------------

至於樓主貼了不少題目,我暫時不一一解,大概說個重點,用定義解這種題目,關鍵是

你要給出一個「找δ」(或確保他存在)的方法來應付所有人家給你的ε。

就以你的老師解題目c的方法為例,為什麼他這麼做就可以證明極限?

因為他告訴你,你給他ε (不管是1000,100,0.1,還是6.02*10^-23), 他只要代入min { 1 , ε / ( 2‧| c | + 1 ) },就可以找到δ。而這個δ,確保了推論|x-c|<δ ->|x^2-c^2|<ε的正確性,而這滿足了極限的定義。

至於這類型題目的困難,在於「找δ」的公式通常很不明顯,需要用很多不等式之類的解題技巧,包含樓主說的假設 | x - c | < 1,這都屬於技巧的部分。我個人是覺得,最重要的是了解極限的意義,至於技巧是細節的問題,重要性有限,對了解微積分後面的章節幫助也有限。

說一下樓主的第三個問題,極限是唯一的(不妨試著證明看看),但找δ的方法跟找到的δ本來就不唯一,重點是要找的到就好,就能滿足極限定義。

就像老師那個例子min { 1 , ε / ( 2‧| c | + 1 ) }是一種找δ公式的話,那說δ=min { 0.9, ε / ( 3‧| c | + 1.7 ) }也一定錯不了,對吧。

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您有這麼多問題 原因出在對極限定義的不了解

每一個數學定義 都有它的背後的意義

簡單的說 極限談的是『函數 當代入的 x 靠近 某值 xo 時 函數值 f(x) 的行為』

既然說是靠近 那畢竟是不相等 所以定義裡的會出現"去心"兩字

f(x) 的行為可以分成三種:1. 靠近某值 L  2. |f(x)|無止盡的變大  3. 其他

只有第1種情形 我們才認為極限存在 並且說是 當代入的 x 靠近 某值 xo 時 函數值 f(x) 靠近 L 記為gif.latex?\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=L

"靠近"畢竟只是語言上的形容詞 要是不認識中文的老外 看得懂大概是 approach 或 near

數學的敘述則可以跳脫語言隔闔

再把極限的意思唸一遍:當代入的 x 靠近 某值 xo 時 函數值 f(x) 靠近 L

我們該怎麼用數學語言寫出這意思呢?

先回想一下  | a - b | 意味著 a 和 b 的距離 

所以 | f(x) - L | < ε 就表示 f(x) 和 L 的距離在 ε 以內

我們用 | f(x) - L | < ε 來表示 f(x) 靠近 L

同理 用 | x - x0 | < δ 表示 x 靠近 xo

不同的人對"靠近"有不同的要求 有的人認為 距離在1以內就夠靠近了 有的人則認為 距離在0.3以內 更有人認為要在0.00001以內才算靠近

所以 | f(x) - L | < ε 裡的 ε 是要開放給所有可能的(正)值 所以定義裡會出現"對於任意正數 ε "

對於 δ 來說 就不必這麼嚴苛 所以存在有就好 (這其實正是想出此極限定義的柯西之聰明之處)

所以....

函數值 f(x) 的行為是靠近 L 當( or 如果) x 靠近 某值 xo 時  翻譯成數學語言的話變成

對於任意正數 ε  | f(x) - L | < ε 如果 | x - x0 | < δ 對於某個正數 δ

在邏輯語言裡 量詞總是能提到最前面 但量詞之間的先後順序在此要維持著

再考慮"對於某個"就是"存在有" 以及將條件句"| x - x0 | < δ"先寫出來 便得到 極限的定義

對於任意正數 ε  存在某個正數 δ 如果 | x - x0 | < δ 則 | f(x) - L | < ε

注意 這句子的層次是這樣的: (在上層的 影響所有在它下面的)

對於任意正數 ε

        存在某個正數 δ 

                如果 | x - x0 | < δ 則 | f(x) - L | < ε

___________________________________________________________________________

1. 以上定義裡的中文 完全可以換成量詞符號 所以其實沒有語言的障礙

2. 此篇文章裡的"靠近" 其實是要多接近就有多接近 或是恣意地靠近 只因敘述簡便起見 省略不寫 僅此聲明

此內容已被編輯, ,由 曾阿牛
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  • 7 years later...
在 2010/5/8 at AM4点15分, 曾阿牛说:

您有这么多问题 原因出在对极限定义的不了解

每一个数学定义 都有它的背后的意义

简单的说 极限谈的是『函数 当代入的 x 靠近 某值 xo 时 函数值 f(x) 的行为』

既然说是靠近 那毕竟是不相等 所以定义里的会出现"去心"两字

f(x) 的行为可以分成三种:1. 靠近某值 L  2. |f(x)|无止尽的变大  3. 其他

只有第1种情形 我们才认为极限存在 並且说是 当代入的 x 靠近 某值 xo 时 函数值 f(x) 靠近 L 记为gif.latex?\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=L

"靠近"毕竟只是语言上的形容词 要是不认识中文的老外 看得懂大概是 approach 或 near

数学的敘述则可以跳脱语言隔闔

再把极限的意思唸一遍:当代入的 x 靠近 某值 xo 时 函数值 f(x) 靠近 L

我们该怎么用数学语言写出这意思呢?

先回想一下  | a - b | 意味著 a 和 b 的距离 

所以 | f(x) - L | < ε 就表示 f(x) 和 L 的距离在 ε 以內

我们用 | f(x) - L | < ε 来表示 f(x) 靠近 L

同理 用 | x - x0 | < δ 表示 x 靠近 xo

不同的人对"靠近"有不同的要求 有的人认为 距离在1以內就够靠近了 有的人则认为 距离在0.3以內 更有人认为要在0.00001以內才算靠近

所以 | f(x) - L | < ε 里的 ε 是要开放给所有可能的(正)值 所以定义里会出现"对於任意正数 ε "

对於 δ 来说 就不必这么严苛 所以存在有就好 (这其实正是想出此极限定义的柯西之聪明之处)

所以....

函数值 f(x) 的行为是靠近 L 当( or 如果) x 靠近 某值 xo 时  翻译成数学语言的话变成

对於任意正数 ε  | f(x) - L | < ε 如果 | x - x0 | < δ 对於某个正数 δ

在逻辑语言里 量词总是能提到最前面 但量词之间的先后顺序在此要维持著

再考虑"对於某个"就是"存在有" 以及將条件句"| x - x0 | < δ"先写出来 便得到 极限的定义

对於任意正数 ε  存在某个正数 δ 如果 | x - x0 | < δ 则 | f(x) - L | < ε

注意 这句子的层次是这样的: (在上层的 影响所有在它下面的)

对於任意正数 ε

        存在某个正数 δ 

                如果 | x - x0 | < δ 则 | f(x) - L | < ε

___________________________________________________________________________

1. 以上定义里的中文 完全可以换成量词符號 所以其实没有语言的障碍

2. 此篇文章里的"靠近" 其实是要多接近就有多接近 或是恣意地靠近 只因敘述简便起见 省略不写 仅此声明

有个问题想问问学长,这里的:

“对於 δ 来说 就不必这么严苛 所以存在有就好 (这其实正是想出此极限定义的柯西之聪明之处)”

为什么对于 δ 不用严苛规定?这里的x指的是在x0邻域范围内的量,应该也是个无穷小量,既然用“任意ε”来指代ε可以无穷小,那么为何不用“任意δ”来指代 δ 的无穷小呢? 

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