I'm‧泥〃

【極限】我想問 "ε-δ證明"

Recommended Posts

我現在開始在碰極限的嚴謹證明 ...

但是我看不懂 = ='

設函數 f(x) 點 xo 的去心鄰域上有定義,

若對於任意正數 ε ,

總存在一正數 δ ,

這時對於所有滿足 0 < | x - xo | < δ 得 x 來說,

不等式 | f(x) - L | < ε 恆成立,

則我們稱L為函數 f(x) 在當點 x 趨近 xo 時的極限,

並記為 lim ( x→xo ):f(x) = L

課本寫的,但我真的不知道這到底是在做什麼的

老師說多做題目去感受那個感覺

可是我看了老師的做法之後其實還是不清楚那再做什麼

  1. 假設給了題目
    用 " ε-δ證明 " 來證

    1. lim (x→c):b = b
    2. lim (x→c):x = c
    3. lim (x→c):x² = c²
    4. lim (x→c):1/x = 1/c,c>0

      先做一次給我看 :'(
      .
  2. 題目是會給 ε 還是 δ ???
    或是兩個都不會給要自己假設 ???
    .
  3. 用以上的例題 ©為例 ,老師是假設 | x - c | < 1
    而且老師說可以隨意的將紅色數字改成其他數例如:1/2、1/3 ...
    但是這樣子作起來答案不就不唯一了 ???
    在同一題證明體裡面有不只一個答案這不少見
    但是我想到這不是嚴謹的做法嗎???
    那為什麼可以假設數字、假設之後不就不嚴謹了嗎 ??
    .
  4. 這種證明到底是想幹麻 ???


    我問過輔導老師
    他說這個的意義是當 x 跟 xo 的距離小於 δ ,
    f(x) 跟 L 的距離 ( 也就是函數值跟極限值的誤差 ) 會小於 ε
    聽不懂、我還是搞不懂他到底想幹嘛 = =""
    就是他有什麼意義在 !!!
    -----一-----點-----也-----不-----可-----愛-----的-----分-----隔-----線-----
    文章結束處附上例題 © 老師的解法
    令 y = f(x) = x²
    考慮 | f(x) - c² | = | x² - c² | = | x - c |‧| x + c |
    | x - c | < 1
    則 | x | - | c | ≦ | x - c | < 1
    移項得 | x | ≦ | c | + 1
    且 | x + c | ≦ | x | + | c | ≦ ( | c | + 1 ) + | c | = 2‧| c | + 1
    所以 | f(x) - c² | = | x + c |‧| x - c | ≦ ( 2‧| c | + 1 ) ‧| x - c | < ε
    故 | x - c | < ε / ( 2‧| c | + 1 )
    取 δ := min { 1 , ε / ( 2‧| c | + 1 ) }
    所有 ε > 0 ,存在於 δ > 0
    使得 0 < | x - c | < δ
    → | x² - c² | < δ 故得證 #
    給我小小要求一下
    可以的話如果要打一些特殊符號麻煩複製我的去打
    排版好看一點,謝謝你們囉 :)
    想知道怎麼打的我也可以敎你 ...
Edited by I'm‧泥〃
打錯了

Share this post


Link to post
Share on other sites

這個嘛,ε-δ極限定義,最難了解的是這句話的邏輯結構。

我來試著用我的理解方法說說看,先來解釋定義的問題。

首先,f(x) 點 xo 的去心鄰域上有定義

實數線上的去心鄰域應該是指像{x|xo-a<x<xo+a, x不等於x0, a>0} 這樣的一個集合。

要理解這個定義的意思,先直觀的想極限是什麼意思,比方說lim ( x→1 ):(x+2)(x-1)/(x-1) = 3是什麼意思?

注意這個函數在x=1沒有定義,但那不是極限關心的。極限的意思是,當x越來越靠近1的時候,f(x)=(x+2)(x-1)/(x-1)的值會越來越靠近3,但是這跟f(1)=3是兩回事。

比方說x=1.5, 1.1, 0.98, 1.001時 f(x)=3.5, 3.1, 2.98, 2.999 (想像一下趨勢)

回頭過來看

lim ( x→xo ):f(x) = L,意思是當x越來越靠近xo時,f(x)會越來越靠近L。

不過,數學家是嚴謹到有點吹毛求疵的人,他們不喜歡「越來越靠近」這種說法。這種說法意義很含糊,到底有多靠近?

所以出現了嚴格的定義,說的更明確一點lim ( x→xo ):f(x) = L就是,不論你要求f(x)要多麼接近L,只要x夠接近xo,就一定能辦到。

現在用數學的方法翻譯一下這句話

要求f(x)要多麼接近L,比方說距離不可以超過我給的一個數字ε

只要x夠接近xo: |x-xo|<δ

能辦到: 只要|x-xo|<δ,一定可以推出f(x)和L距離不超過ε,也就是|f(x)-L|<ε。

這就是樓主貼的極限的定義啦。

----------------------------------------------------

至於樓主貼了不少題目,我暫時不一一解,大概說個重點,用定義解這種題目,關鍵是

你要給出一個「找δ」(或確保他存在)的方法來應付所有人家給你的ε。

就以你的老師解題目c的方法為例,為什麼他這麼做就可以證明極限?

因為他告訴你,你給他ε (不管是1000,100,0.1,還是6.02*10^-23), 他只要代入min { 1 , ε / ( 2‧| c | + 1 ) },就可以找到δ。而這個δ,確保了推論|x-c|<δ ->|x^2-c^2|<ε的正確性,而這滿足了極限的定義。

至於這類型題目的困難,在於「找δ」的公式通常很不明顯,需要用很多不等式之類的解題技巧,包含樓主說的假設 | x - c | < 1,這都屬於技巧的部分。我個人是覺得,最重要的是了解極限的意義,至於技巧是細節的問題,重要性有限,對了解微積分後面的章節幫助也有限。

說一下樓主的第三個問題,極限是唯一的(不妨試著證明看看),但找δ的方法跟找到的δ本來就不唯一,重點是要找的到就好,就能滿足極限定義。

就像老師那個例子min { 1 , ε / ( 2‧| c | + 1 ) }是一種找δ公式的話,那說δ=min { 0.9, ε / ( 3‧| c | + 1.7 ) }也一定錯不了,對吧。

Edited by 00

Share this post


Link to post
Share on other sites

您有這麼多問題 原因出在對極限定義的不了解

每一個數學定義 都有它的背後的意義

簡單的說 極限談的是『函數 當代入的 x 靠近 某值 xo 時 函數值 f(x) 的行為』

既然說是靠近 那畢竟是不相等 所以定義裡的會出現"去心"兩字

f(x) 的行為可以分成三種:1. 靠近某值 L  2. |f(x)|無止盡的變大  3. 其他

只有第1種情形 我們才認為極限存在 並且說是 當代入的 x 靠近 某值 xo 時 函數值 f(x) 靠近 L 記為gif.latex?\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=L

"靠近"畢竟只是語言上的形容詞 要是不認識中文的老外 看得懂大概是 approach 或 near

數學的敘述則可以跳脫語言隔闔

再把極限的意思唸一遍:當代入的 x 靠近 某值 xo 時 函數值 f(x) 靠近 L

我們該怎麼用數學語言寫出這意思呢?

先回想一下  | a - b | 意味著 a 和 b 的距離 

所以 | f(x) - L | < ε 就表示 f(x) 和 L 的距離在 ε 以內

我們用 | f(x) - L | < ε 來表示 f(x) 靠近 L

同理 用 | x - x0 | < δ 表示 x 靠近 xo

不同的人對"靠近"有不同的要求 有的人認為 距離在1以內就夠靠近了 有的人則認為 距離在0.3以內 更有人認為要在0.00001以內才算靠近

所以 | f(x) - L | < ε 裡的 ε 是要開放給所有可能的(正)值 所以定義裡會出現"對於任意正數 ε "

對於 δ 來說 就不必這麼嚴苛 所以存在有就好 (這其實正是想出此極限定義的柯西之聰明之處)

所以....

函數值 f(x) 的行為是靠近 L 當( or 如果) x 靠近 某值 xo 時  翻譯成數學語言的話變成

對於任意正數 ε  | f(x) - L | < ε 如果 | x - x0 | < δ 對於某個正數 δ

在邏輯語言裡 量詞總是能提到最前面 但量詞之間的先後順序在此要維持著

再考慮"對於某個"就是"存在有" 以及將條件句"| x - x0 | < δ"先寫出來 便得到 極限的定義

對於任意正數 ε  存在某個正數 δ 如果 | x - x0 | < δ 則 | f(x) - L | < ε

注意 這句子的層次是這樣的: (在上層的 影響所有在它下面的)

對於任意正數 ε

        存在某個正數 δ 

                如果 | x - x0 | < δ 則 | f(x) - L | < ε

___________________________________________________________________________

1. 以上定義裡的中文 完全可以換成量詞符號 所以其實沒有語言的障礙

2. 此篇文章裡的"靠近" 其實是要多接近就有多接近 或是恣意地靠近 只因敘述簡便起見 省略不寫 僅此聲明

Edited by 曾阿牛

Share this post


Link to post
Share on other sites
在 2010/5/8 at AM4点15分, 曾阿牛说:

您有这么多问题 原因出在对极限定义的不了解

每一个数学定义 都有它的背后的意义

简单的说 极限谈的是『函数 当代入的 x 靠近 某值 xo 时 函数值 f(x) 的行为』

既然说是靠近 那毕竟是不相等 所以定义里的会出现"去心"两字

f(x) 的行为可以分成三种:1. 靠近某值 L  2. |f(x)|无止尽的变大  3. 其他

只有第1种情形 我们才认为极限存在 並且说是 当代入的 x 靠近 某值 xo 时 函数值 f(x) 靠近 L 记为gif.latex?\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=L

"靠近"毕竟只是语言上的形容词 要是不认识中文的老外 看得懂大概是 approach 或 near

数学的敘述则可以跳脱语言隔闔

再把极限的意思唸一遍:当代入的 x 靠近 某值 xo 时 函数值 f(x) 靠近 L

我们该怎么用数学语言写出这意思呢?

先回想一下  | a - b | 意味著 a 和 b 的距离 

所以 | f(x) - L | < ε 就表示 f(x) 和 L 的距离在 ε 以內

我们用 | f(x) - L | < ε 来表示 f(x) 靠近 L

同理 用 | x - x0 | < δ 表示 x 靠近 xo

不同的人对"靠近"有不同的要求 有的人认为 距离在1以內就够靠近了 有的人则认为 距离在0.3以內 更有人认为要在0.00001以內才算靠近

所以 | f(x) - L | < ε 里的 ε 是要开放给所有可能的(正)值 所以定义里会出现"对於任意正数 ε "

对於 δ 来说 就不必这么严苛 所以存在有就好 (这其实正是想出此极限定义的柯西之聪明之处)

所以....

函数值 f(x) 的行为是靠近 L 当( or 如果) x 靠近 某值 xo 时  翻译成数学语言的话变成

对於任意正数 ε  | f(x) - L | < ε 如果 | x - x0 | < δ 对於某个正数 δ

在逻辑语言里 量词总是能提到最前面 但量词之间的先后顺序在此要维持著

再考虑"对於某个"就是"存在有" 以及將条件句"| x - x0 | < δ"先写出来 便得到 极限的定义

对於任意正数 ε  存在某个正数 δ 如果 | x - x0 | < δ 则 | f(x) - L | < ε

注意 这句子的层次是这样的: (在上层的 影响所有在它下面的)

对於任意正数 ε

        存在某个正数 δ 

                如果 | x - x0 | < δ 则 | f(x) - L | < ε

___________________________________________________________________________

1. 以上定义里的中文 完全可以换成量词符號 所以其实没有语言的障碍

2. 此篇文章里的"靠近" 其实是要多接近就有多接近 或是恣意地靠近 只因敘述简便起见 省略不写 仅此声明

有个问题想问问学长,这里的:

“对於 δ 来说 就不必这么严苛 所以存在有就好 (这其实正是想出此极限定义的柯西之聪明之处)”

为什么对于 δ 不用严苛规定?这里的x指的是在x0邻域范围内的量,应该也是个无穷小量,既然用“任意ε”来指代ε可以无穷小,那么为何不用“任意δ”来指代 δ 的无穷小呢? 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.