江湖舊夢 10 發表於 September 12, 2005 檢舉 Share 發表於 September 12, 2005 題目:二維平面上,任意13個格子點試證明:其中必存在4個點,它們的重心亦為格子點名詞解釋格子點:即(x,y)中x,y皆為整數重心:此題中為4點x,y分別相加後除以4所得的點________________________________第一次做這題時覺點還不簡單有興趣的人來解解看吧 鏈接文章 分享到其他網站
訪客 發表於 September 12, 2005 檢舉 Share 發表於 September 12, 2005 我數學不太好,錯了不要笑,不過我覺得看起來像是用鴿籠,或是一個個擺上去,最後第13個基於某某原因就沒得放了好像廢話xd 鏈接文章 分享到其他網站
水泉合 10 發表於 September 13, 2005 檢舉 Share 發表於 September 13, 2005 有個想法...就先將所有整數分為4k,4k+1,4k+2,4k+3(k為整數)四組將題目簡化為:13個點在下圖之中,必存在四點之重心亦位於格子中|---------|---------|---------|---------|| | | | | 4k+3|---------|---------|---------|---------|| | | | | 4k+2|---------|---------|---------|---------|| | | | | 4k+1|---------|---------|---------|---------|| | | | | 4k|---------|---------|---------|---------| 4k 4k+1 4k+2 4k+3然後用反證法,即令"13個點中,其中任意4個點,它們的重心皆不為格子點"由上圖得重心為格子點之可能為 |---------|---------|---------| |---------|---------|---------|---------| | @ | | @ | |@ @| @ | | @ | |---------|---------|---------| |---------|---------|---------|---------| | | | | 或 |---------|---------|---------| |---------|---------|---------|---------| | @ | | @ | | @ |@ @| @ | | |---------|---------|---------| |---------|---------|---------|---------|經過多番嘗試,最多只能填入12個點可使其中任意4個點,它們的重心皆不為格子點例:|---------|---------|---------|---------|| @ | @ | @ | @ |4k+3|---------|---------|---------|---------|| @ | | | @ |4k+2|---------|---------|---------|---------|| @ | | | @ |4k+1|---------|---------|---------|---------|| @ | @ | @ | @ |4k|---------|---------|---------|---------| 4k 4k+1 4k+2 4k+3不論第13點填何處,皆會形成上述兩種情況之一,與原命題矛盾故"任意13個格子點,其中必存在4個點,它們的重心亦為格子點"----------------------------------------------------------------------------------------------------------------我覺得這樣正好像怪怪的...不知行不行的通...感謝 justinyeh 對我在畫圖上的協助^_^ 鏈接文章 分享到其他網站
江湖舊夢 10 發表於 September 17, 2005 作者 檢舉 Share 發表於 September 17, 2005 最初由 清風明月 發表這13個座標是任意的還是有特殊條件? 條件即'格子點'的確可以用鴿籠原理來作方向和水泉合的的方法一樣分成四類 鏈接文章 分享到其他網站
笑鱉的那個人 10 發表於 September 22, 2005 檢舉 Share 發表於 September 22, 2005 最初由 水泉合 發表有個想法...就先將所有整數分為4k,4k+1,4k+2,4k+3(k為整數)四組將題目簡化為:13個點在下圖之中,必存在四點之重心亦位於格子中|---------|---------|---------|---------|| | | | | 4k+3.............(論壇訊息:引文過長 恕刪) 我講一下我的想法假設四點座標分別是(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4)那麼重心就是(1/4(X1+X2+X3+X4),1/4(Y1+Y2+Y3+Y4))所以只要證明一條數線上任取13整數點必有四點的平均值是整數就醬... 鏈接文章 分享到其他網站
水泉合 10 發表於 September 23, 2005 檢舉 Share 發表於 September 23, 2005 請你寫一下過程好嗎,這方法我不是沒想過,但這裡有x和y欸如果只有其中一個,只要任取7點就必有4點的平均為整數但現在有兩變數,也就是說如果x合而y不合仍不成立這樣交相作用後,就會變得很複雜...所以我才想到用這種怪怪的方法...如果你有想出證明過程請告訴我好嗎,我很想知道(畢竟我的方法太怪.).. 鏈接文章 分享到其他網站
笑鱉的那個人 10 發表於 September 24, 2005 檢舉 Share 發表於 September 24, 2005 最初由 水泉合 發表請你寫一下過程好嗎,這方法我不是沒想過,但這裡有x和y欸如果只有其中一個,只要任取7點就必有4點的平均為整數但現在有兩變數,也就是說如果x合而y不合仍不成立這樣交相作用後,就會變得很複雜...所以我才想到用.............(論壇訊息:引文過長 恕刪) 呵呵...只要對於一維空間符合二維就一定會成立滴自己多想想吧...^^(向量的獨立性.它們是互不干涉的)BTW...不是7點...只要任取5點就行了↑這句話是錯的.Sorry.7是對的 鏈接文章 分享到其他網站
水泉合 10 發表於 September 24, 2005 檢舉 Share 發表於 September 24, 2005 你說清楚一點啦,我很笨的...我向量那邊學的不是很好...所以,我自己沒辦法想出來...還有,若取{1,4,5,8,9,12}這六個數,沒有一組4個的平均為整數啊!! 鏈接文章 分享到其他網站
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