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舊 2006-08-22, 23:49   #1
和平高中 - 台灣大學
 
文章: 220
【問題】球體體積

有人可以積球體體積給我看嗎@@?
也就是半徑是R的球體體積為4/3πR^3
Kurak 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-08-26, 01:17   #2
和平高中 - 台灣大學
 
文章: 220
沒人鳥我= ="
Kurak 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-08-26, 10:31   #3
鳳山高中 - 清華大學
 
文章: 45
就把原的表面積機起來的話就可以了
4πR^2變成4/3πR^3
殘風~缺月~半日 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-08-26, 15:00   #4
成功高中 - 台灣大學
 
文章: 3,584
作者: 殘風~缺月~半日
就把原的表面積機起來的話就可以了
4πR^2變成4/3πR^3
為什麼我聽的是反過來的
把體積微成表面積
到底是那個先推出來?
____________________________________

Being conscious is a torment.
The more we learn is the less we get.
-- Epica


網誌-星問
Yel D'ohan 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-08-26, 15:04   #5
彰化高中 - 中興大學
 
文章: 1,006
作者: justinyeh
為什麼我聽的是反過來的
把體積微成表面積
到底是那個先推出來?
都可以
先看哪個是已知的
____________________________________

對任何事皆無耐心
四處打轉
最後
仍一無所獲
九天驚虹 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-08-26, 23:34   #6
- 交通大學
 
文章: 230
作者: a790816aaa
有人可以積球體體積給我看嗎@@?
也就是半徑是R的球體體積為4/3πR^3
求半徑是r的球體體積為4/3πr^3的方法有許多種

在此我用其中最簡單的一種方法(旋轉體的體積)

徑是r的球體體積可透過:圓 x^2+y^2=r^2 繞y軸旋轉得到

旋轉體的體積求法又分為圓盤法剝殼法

此處採用圓盤法: 求出一片圓盤體積 積分





mapleaf 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-08-26, 23:51   #7
建國中學 - 台灣大學
 
文章: 784
被講走了XD
才剛積出來的說><

那我提供另外一種 祖沖之原理 的證明
祖沖之原理主要是說:

在等高的兩物體中 若這兩個物體不論在何處的水平截面積都相等 則這兩個物體體積相等

證明:
1.首先畫出半個球 以及一個與其等高等半徑的圓柱

2.在圓柱內接圓錐 也就是半徑跟高度都是r的圓錐

3.作一個切面 接著只要證明圓柱內截出的環狀面積=球的截圓面積即可

因為沒有圖所以只能說到這><
____________________________________

天地有正氣
宅男不流行
清風明月 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-08-27, 01:07   #8
- 交通大學
 
文章: 230
提供另一種算法:重積分
mapleaf 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-09-01, 23:35   #9
和平高中 - 台灣大學
 
文章: 220
抱歉....再問一下...
表面積怎麼積?
Kurak 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-09-02, 01:05   #10
玉里高中 - 中興大學
全區封鎖
 
文章: 2,867
我覺得較廣義的解法

其實像這樣的問題
屬於向量分析的範疇
可以用正交曲線座標的方法來解
先寫出微分體積元素的表達式
再對不同的曲線軸積分即可得到答案
優點是過程中繞過了Jacobian繁雜的座標轉換


這個方法的好處是涵跨範圍大
只要選對曲線座標類型(好像有十幾種類型)
很多奇怪形狀的體積及表面積都算的出來

直角座標 圓柱座標 球座標 是三種最基本的

不過向量只是張量的其中一個特例
在空間問題的處理上有其侷限性
也就是還不夠廣義
張量分析比較能解釋大部分的空間問題
Zeta 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2006-09-08, 21:30   #11
- 交通大學
 
文章: 230
作者: a790816aaa
抱歉....再問一下...
表面積怎麼積?


mapleaf 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2010-08-30, 21:57   #12
- 交通大學
 
文章: 230
作者: mapleaf 查看文章
求半徑是r的球體體積為4/3πr^3的方法有許多種

在此我用其中最簡單的一種方法(旋轉體的體積)

徑是r的球體體積可透過:圓 x^2+y^2=r^2 繞y軸旋轉得到

旋轉體的體積求法又分為圓盤法剝殼法

此處採用圓盤法: 求出一片圓盤體積 積分





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mapleaf 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2010-08-30, 21:58   #13
- 交通大學
 
文章: 230
作者: mapleaf 查看文章


更新圖片連結
mapleaf 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2010-09-03, 14:30   #14
臺中一中 - 台灣大學
全區封鎖
 
文章: 504
以『微分體積元素』來求體積


[1]球座標下的位置向量為



[2]球座標的尺度因子為



[3]接著進行座標轉換,各軸向的線素為



[4]最後,微分體積元素為各軸向線素的乘積



[5]最後進行分離變數積分即可得球體體積

此篇文章於 2010-09-03 14:41 被 Morris 編輯。
Morris 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2010-09-03, 16:13   #15
臺中一中 - 台灣大學
全區封鎖
 
文章: 504
以『向量微積分』來求球體體積


由幾何曲面得知單位法向量面積元素為



接著將位置向量以向量分解與鏈鎖率展開可得



兩等式上下對照,可得



所以面積元素可表示為



球座標下的位置向量為



球座標下的尺度因子為



則面積元素可寫為



接著由散度定理,可得二重積分與體積的關係式



令球面方程為,則法向量為,再將dA代入積分式,則球體體積可寫為

此篇文章於 2010-09-03 16:34 被 Morris 編輯。
Morris 目前離線   回覆時引用此篇文章
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