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舊 2012-06-26, 17:52   #1
kusoweiwei
訪客
 
文章: n/a
[大學] 判斷級數收斂發散。

題目為判斷級數 Σ[k:0->無窮大] [(k!k!)/(2k)!]4^k 為發散還收斂

我用ration test 出來的結果等於1,無法下結論。

還能用什麼檢驗法啊? 目前想到的是limit comparison test

但是我不確定能不能這樣用

因為:Sigma:[k:0->無窮大] [(k!k!)/(2k)!] 這個用ratio test判斷為收斂級數

然後用 comparison test ak=[(k!k!)/(2k)!]4^k , bk=[(k!k!)/(2k)!]

lim n->無窮大 [ak/bk] =lim n->無窮大 4^k 發散 ,所以 ak 發散

可是...我記得 comparison test lim n->無窮大 [ak/bk]=L 常數 然後ak隨著bk 發散收斂...

由我想法計算出來的L為發散,我可以直接判斷an為發散嗎?
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舊 2012-06-27, 11:09   #2
武陵高中 - 中原大學
 
文章: 229
先回答你追問的問題:當 k → ∞, ak/bk → ∞ 且 Σbk 收斂 則可說 Σak 發散嗎?
答:不可以  反例:ak = 1/(k^2), bk = 1/(k^3) 此例中的 Σak 收斂

再回答你原來想問的 (老實說 足碼用 k 覺得不習慣 所以以下改用 n)


____________________________________

他強由他強 清風拂山崗 他橫任他橫 明月照大江 他自狠來他自惡 我自一口真氣足
曾阿牛 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2012-06-27, 11:38   #3
kusoweiwei
訪客
 
文章: n/a
呃...背景黑黑的 然後字體很若隱若現的白色=_=
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舊 2012-06-27, 15:02   #4
武陵高中 - 中原大學
 
文章: 229
哦...... 我這裡看起來很正常耶
試試看換個瀏覽器 或是換台電腦 不然你留 email 我寄照片給你
____________________________________

他強由他強 清風拂山崗 他橫任他橫 明月照大江 他自狠來他自惡 我自一口真氣足
曾阿牛 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2012-07-01, 01:23   #5
kusoweiwei
訪客
 
文章: n/a
同學,我一登出就看的到

那個我已經知道正確地尋找方式了,用divergence test

lim n->∞ an =S>0

則sigma an 發散

你的第一行就可以看出lim n->∞ an =S>0了

然後你的這個証法我不知道要怎麼說錯

但是我只知道ratio test lim n->∞ |an+1/an| >1 則級數發散

你那個式子到無窮遠項的時候 就變成 an=an了,所以沒有遞增喔。

但我不知道要怎麼準確地舉反例,反正我也是用ratio test 但 其值=1
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舊 2012-07-01, 14:31   #6
武陵高中 - 中原大學
 
文章: 229
考慮一個數列 {An} 如果 A(n+1) / An → 1 並不能否定這數列是遞增的唷

或許您應該先確認一下 何謂一個數列是遞增的


作者: kusoweiwei 查看文章
divergence test
lim n->∞ an =S>0 則sigma an 發散
喔 還有 對於您提到的 divergence test 的敘述也不完全正確
正確的敘述是 lim n→∞ an ≠ 0 則 Σ an 發散  這裡的 lim n→∞ an ≠ 0 包括極限不存在的情形
而您寫的 lim n->∞ an =S>0 則是預先以為極限是 S 才考慮 S ≠ 0

譬如 考慮數列 An = 2 + cos (πn)  我們並不會說:因為 lim n→∞ An = S 且 S ≠ 0 所以 Σ An 發散
____________________________________

他強由他強 清風拂山崗 他橫任他橫 明月照大江 他自狠來他自惡 我自一口真氣足
此篇文章於 2012-07-01 15:15 被 曾阿牛 編輯。
曾阿牛 目前離線   回覆時引用此篇文章
舊 2012-07-01, 20:50   #7
kusoweiwei
訪客
 
文章: n/a
[QUOTE=曾阿牛;5048247]考慮一個數列 {An} 如果 A(n+1) / An → 1 並不能否定這數列是遞增的唷

或許您應該先確認一下 何謂一個數列是遞增的
============================
哦!

對不起,我知道數列是遞增的阿,應該說我一開始沒有看懂,我以為你是因為數列遞增

就說這個級數是發散,所以我用ratio test的值等於1來說無法下結論,但現在我仔細看最後

一行你也是用divergence test,

一開始不知道你是用divergence test的原因是因為我們老師會規定要在最後寫"By XXX test"

還有有那個an不趨近於零的符號我沒看懂@@。

所以我原本的認知是以為你的證法是數列遞增推得級數發散

那我現在又有新的問題了,怎麼找出數列是遞增,但級數是收斂的數列呢?

然後我divergence test筆誤....
《無窮項等於零不一定收斂,不等於零一定發散》(這是我們老師特別提醒的)

==========================================================
然後我從wiki看到的一節敘述

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A7%E6%95%B0

正項級數那段的問題
單調有界數列必有極限。這句話的意思是?
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